Deret Fourier – dalam kehidupan sehari-hari banyak kegiatan kita yang melibatkan funsi priodik seperti dalam pengukuran gelombang, kelistrikan, bunyi dan lainnya. Dalam matematika fungsi priodik dipelajari jika anda membahas tentang sinus dan cosinus. Agar menambah pemahaman, dalam artikel ini kita akan bahas mengenai fungsi priodik sinus dan cosinus. Fungsi priodik juga dapat disebut sebagai deret fourier.
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan periode P, apabila untuk semua harga x berlaku: f(x+P) = f(x); dimana P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut periode terkecil atau disebut periode dari f(x).
Contoh:
- Fungsi sin x mempunyai periode 2π, 4π, 6π,…karena sin (x+2π) = sin (x+4π)= sin (x+6π) =…=sin x
- Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2π/n
- Periode dari tan x adalah π
- Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif
Kontinuitas
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)
Definisi Deret Fourier
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:
dimana koefisien Fourier \(a_n\), \(b_n\) ditentukan oleh:
Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka:
dengan C sembarang bilangan real. Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).
Syarat / Kondisi Dirichlet
menurut teorema Dirichlet, Deret Fourier konvergen apabila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet.
Teorema:
Jika:
- f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)
- f(x) periodik dengan periode 2L
- f(x) dan f′(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).
Dari teorema diatas, maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen terhadap:
- f(x), jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)
- \(\frac {f(x^+)+f(x^-)}{2}\), jika x adalah titik diskontinu.
Contoh:
Tentukan deret Fourier dari :
dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5).
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = – f(x) untuk setiap x.
Contoh:
- Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka
- Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka
Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)
1. Fungsi genap:
Jika f(x) fungsi genap maka \(b_n\)=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari \(a_n\))
2. Fungsi ganjil:
Jika f(x) fungsi ganjil maka \(a_n\)=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari \(b_n\))
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.
Kesimpulan :
- Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
♥ f(x) fungsi ganjil:
- Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:
♥ f(x) fungsi genap :
Latihan :
Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;
- Deret sinus setengah jangkauan
- Deret cosinus setengah jangkauan
Turunan Dan Integral dari Deret Fourier
Teorema:
Deret fourier f(x) diintegralkan dari a sampai x akan menghasilkan deret yang konvergen seragam terhadap \(\int_{a}^{x} f(x) dx\) yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L, dimana a dan x berada pada interval tersebut.
