Integral Tak tentu dan Integral Tentu – Pada kesempatan kali ini, akan KAMI bahas mengenai materi integral. Setelah mempelajari dan memahami materi turunan/diferensial, maka sudah tidak sulit lagi untuk mempelajari materi integral. Karena integral dan turunan merupakan materi yang saling berkaitan.
Pengertian integral adalah invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat maka F(x) merupakan himpunan anti-turunan atau himpunan pengintegralan.
Integral merupakan sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan merupakan kebalikan dari diferensial atau turunan biasa juga disebut anti turunan. Integral dikembangkan karena alasan banyak matematikawan yang kesulitan menyelesaikan permasalahan yang berkebalikan dengan masalah turunan.
Himpunan integral fungsi f(x) dinotasikan dengan:
\( \int f(x) dx\)
Dibaca integral f(x) terhadap x, dan disebut integral tak tentu. Integral tak tentu f(x) merupakan suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan.
\(\int f\left( x\right) dx=F\left( x\right) +c\)
Dengan:
- f(x) = integran
- F(x) = fungsi integral umum
- c = konstanta pengintegralan.
Andaikan f(x) dan g(x) mempunyai integral tak tentu dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut:
- \(\int k. f\left( x\right) dx=k.\int f\left( x\right) dx\)
- \(\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
- \(\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)
Adapun aturan integral tak tentu dari fungsi aljabar, semisal a merupakan konstanta bilangan real sembarang:
- \( \int dx=x+c \)
- \( \int a. dx=ax+c \)
- \( \int x^{n}dx=\frac {1}{n+1}x^{n+1}+c \) dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
- \( \int a.x^{n}dx=\frac {a}{n+1}x^{n+1}+c \) dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
Pada integral tak tentu dari fungsi trigonometri, juga berlaku aturan-aturan berikut:
Baca Juga:
Contoh Soal Integral
Untuk lebih memahami sifat-sifat, serta aturan integral tak tentu dari fungsi aljabar ataupun fungsi trigonometri, cermati dan pahami dari contoh-contoh soal berikut.
Contoh soal Ebtanas 1995
- Contoh soal:
Hasil dari \( \int (3x²-4x+5)dx \) adalah..
- \( 2x³-4x²+5x+c\)
- \( 2x³-2x²+5x+c\)
- \( x³-2x²+5x+c\)
- \( x³-4x²+5x+c\)
- \( -x³+2x²+5x+c\)
- Jawaban dan pembahasan:
Soal Ebtanas 1996
- Contoh soal:
Diketahui \(f(x)= sin(2x-3)\), maka \(∫f(x)dx=\) …
- \( 2 cos (2x-3)+c\)
- \( ½ cos (2x-3)+c\)
- \( cos (2x-3)+c\)
- \( -½ cos (2x-3)+c\)
- \( -2 cos (2x-3)+c\)
- Jawaban:
\(∫f(x)dx=∫sin (2x-3)dx\\∫f(x)dx=-½ cos (2x-3)+c\)
Maka jawaban yang benar dari 5 pilihan di atas adalah nomor 4
Perbedaan Integral Tentu dan Tak Tentu
Berbeda dari integral tak tentu, integral tertentu memiliki batas-batas dan interval pengintegralan. Dinotasikan dengan:
\(\int ^{b}_{a}f(x)dx=\left[F(x)\right] ^{b}_{a}=F(b)-F(a)\)
dengan f(x) = integram, dimana \(f(x)=F'(x)\)
- a,b = batas-batas pengintegralan
- [a,b] = interval pengintegralan
Andaikan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi-fungsi kontinyu dan terdefinisi dalam [a,b] dan andaikan k adalah konstanta, maka:
Untuk lebih memahami sifat-sifat integral tertentu, cermati dan pahami beberapa contoh soal berikut.
- Contoh soal integral tentu:
\(\int ^{2}_{-1}(x²+x-2)dx=\)…. (ebtanas 1991)
- -3
- -2½
- -1½
- 1½
- 3
- Jawaban dan pembahasan:
Jika dalam sebuah kasus dimana F'(x) diketahui dan kita diminta untuk menentukan nilai F(x) maka bisa diselesaikan dengan cara berikut:
Untuk menentukan fungsi F(x), jika diketahui maka F'(x) dapat dicari dengan rumus:
\(F(x)=∫F'(x)dx\)
- Contoh soal:
Diketahui \(F'(x)=(x+1)(x+2)\), jika \(F(-3)=-\frac {3}{2}\) , maka tentukan F(x)!
- Jawaban dan pembahasan:
Dengan fungsi \(F(x)=∫F'(x)dx\), maka:
Sehingga, \(F(x)=\frac {1}{3}x³+\frac {3}{2}x²+2x\)
Demikian pembahasan materi kali ini semoga bermanfaat, jika ada yang kurang jelas silahkan tinggalkan pesan di kolom komentar.
Daftar Pustaka: Cunayah, Cucun dan Etsa Indra Irawan. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya. 2013.
Terima kasih materi nya.