Himpunan Irisan dan Gabungan: Contoh Soal – Pembahasan

Irisan dan gabungan. Sebelum kita membahas apa itu himpunan irisan dan gabungan, kita harus lebih dulu memahami apa itu himpunan.

Nah, coba sekarang kita sebutkan beberapa nama hewan seperti kucing, sapi, kambing, kelinci, dan unta, maka hewan-hewan tersebut bisa kita katakan jika berada dalam satu himpunan yakni himpunan hewan mamalia.

Jadi apakah himpunan itu?

Himpunan adalah kumpulan dari beberapa objek tertentu yang memiliki definisi sama atau membentuk satu kesatuan.

Contoh lainnya yang dapat membentuk suatu himpunan adalah himpunan bilangan prima, himpunan orang berkacamata, dan himpunan orang berprestasi.

Himpunan Irisan

Seringkali terjadi dalam suatu himpunan tertentu adalah merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan khusus lainya, hal inilah yang dimaksud juga sebagai irisan.

Irisan (intersection) adalah adanya himpunan A dengan B yang bagian-bagiannya juga merupakan anggota dari himpunan A dan himpunan B. Irisan dilambangkan dengan \(\cap\).

Untuk lebih mudah kita akan menggunakan diagram venn untuk menggambarkan irisan \(A \cap B\) .

• Contoh soal:

Misalkan A = {1,2,3,4,5) dan B = (2,3,5,7) maka \(A \cap B\) = {2,3,5}.
Diagram venn-nya adalah seperti berikut:

• Jawaban diagram venn:

• Contoh himpunan tak beririsan:

Contoh lainnya adalah misalkan A = {s,t,a,m} dan B = {g,i,h} maka \(A \cap B\) =\( \phi \). Diagram venn-nya adalah sebagai berikut:

Karena tidak ada anggota yang sama, maka tidak ada daerah yang diarsir atau diwarnai.

Referensi lainnya: Pengertian Populasi dan Sampel dalam Statistika

Contoh Soal Irisan

• Contoh soal cerita:

Dari sekelompok siswa diketahui: 25 siswa suka makan bakso, 20 siswa suka makan soto, dan 12 siswa suka makan keduanya (bakso dan soto). Berdasarkan keterangan tersebut:

1. Gunakanlah gambar diagram venn yang sesuai dengan masalah diatas!
2. Berapa banyak siswa dikelompok tersebut?
3. Dari diagram venn yang dibuat, berapakah jumlah penyuka bakso?

• Jawaban dan pembahasan:

Gambar diagram venn-nya bisa menggunakan lingkaran ataupun bentuk lainnya (angka dalam lingkaran menunjukkan jumlah anggota).

• Dimisalkan himpunan siswa yang suka makan bakso = B (25-12=13)
• Dimisalkan himpunan siswa yang suka makan soto = T (20-12=8)
• Maka himpunan siswa yang suka makan bakso dan soto = \(B \cap T\)

Banyaknya siswa dalam kelompok tersebut adalah (25+20-12) orang siswa = 33 siswa. Dan banyaknya siswa penyuka bakso adalah 13 orang.

Himpunan Gabungan

Gabungan (Union) adalah adanya himpunan A dan himpunan B yang anggotanya hanya bilangan itu saja atau anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan salah satunya yakni anggota himpunan A saja atau anggota himpunan B saja.

Gabungan dilambangkan dengan \(A \cup B\).

Ekspresi notasi gabungan dapat digambarkan dengan ilustrasi di bawah ini:

Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B {2,3,5,7} maka \(A \cup B\) = {1,2,3,4,5,7}
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut:

Daerah yang diwarnai dengan warna biru menyatakan \(A \cup B\).

Contoh Soal Himpunan Gabungan

• Soal:

Di sebuah pabrik yang terdiri dari 57 orang, ternyata ada 32 orang suka makan soto, 40 orang diantaranya suka makan bakso, sedang ada 17 orang penyuka soto dan bakso. Tentukanlah:

1. Diagram venn yang bisa menggambarkan kondisi diatas.
2. Berapa jumlah orang yang penyuka bakso atau soto?
3. Berapa jumlah orang yang tidak suka bakso ataupun soto?

• Jawaban dan pembahasan:

Gambar diagram venn-nya yang menggambarkan cerita diatas adalah (angka dalam lingkaran menunjukkan jumlah orang):

• B = kumpulan orang penyuka bakso (40-17=23)
• T = kumpulan orang penyuka soto (32-17=15)
• \(B \cup T\) = kumpulan orang penyuka bakso atau soto

Jadi jumlah orang penyuka bakso atau soto adalah (40 + 32 – 17) orang = 55 orang. Sedangkan jumlah orang yang tidak suka makan bakso maupun makan soto adalah (57-55) orang = 2 orang.

Soal Kombinasi Himpunan Irisan dan Gabungan

Agar lebih memahami materi himpunan irisan dan himpunan gabungan, coba Anda kerjakan soal latihan berikut yang merupakan kombinasi dari keduanya.

• Soal 1:

Diketahui himpunan semesta adalah angka berikut {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dengan himpunan A={1,3,5,7,9} dan B={3,4,5,6}. Carilah nilai A Gabungan B {A∪B} dan A Irisan B {A∩B}!

• Jawaban:

A Gabungan B {A∪B} = {1,3,4,5,6,7,9}
A Irisan B {A∩B} = {3,5}

• Soal Cerita 2:

Sebuah survey dilakukan pada sekelompok siswa yang berjumlah 100 orang. Survey tersebut berisi tiga pertanyaan berikut:

1. Apakah kamu memiliki ipad?
2. Apakah kamu memiliki laptop?
3. Apakah kamu memiliki keduanya (ipad dan laptop?)

Berikut tabel data hasil survey tersebut:

Berdasarkan informasi yang diberikan, tentukanlah:

1. Berapa banyak siswa yang memiliki laptop tapi tidak memiliki ipad?
2. Berapa banyak siswa yang tidak memiliki laptop dan juga tidak punya ipad?
3. Berapa banyak siswa yang memiliki minimal satu ipad atau satu laptop?

• Jawaban dan Pembahasan:

Dari data yang diketahui di atas, dapat kita buat himpunan dalam notasi matematika sebagai berikut:

IPAD ∩ LAPTOP = 40
IPAD ∪ LAPTOP = IPAD + LAPTOP – (IPAD ∩ LAPTOP) = 70 + 50 – 40 = 80
Himpunan semesta (total jumlah siswa) = 100 orang

Dari perhitungan diatas, dapat kita jawab empat pertanyaan diatas:

1. LAPTOP – (IPAD ∩ LAPTOP) = 50 – 40 = 10 Orang
2. HIMPUNAN SEMESTA – (IPAD ∪ LAPTOP) = 100 – 80 = 20 Orang
3. Gabungan LAPTOP dan IPAD = IPAD ∪ LAPTOP = 80 orang

Gimana, sudah paham kan tentang apa itu irisan dan gabungan? Jika penjelasan diatas belum bisa dipahami. Kalian bisa menanyakan isi materi diatas melalui kolom komentar.