Teorema Limit Tak Hingga (∞) Contoh Soal dan Pembahasan

Dalam ilmu Matematika terdapat beragam cabang atau jenis di dalamnya. Termasuk salah satunya adalah limit tak hingga. Limit tak hingga kerap digunakan dalam cabang ilmu Matematika kalkulus maupun Matematika analisis.

Limit dalam ilmu Matematika berfungsi sebagai penjelas sifat dari suatu fungsi. Sedangkan limit tak hingga dapat diartikan sebagai kecenderungan suatu fungsi jika nilai variabel diubah menjadi lebih besar atau sangat besar sehingga tanpa batas atau menuju tak hingga.

Limit tak hingga memiliki notasi ilmiah sendiri yaitu infinity (∞). Dalam kehidupan sehari-hari penerapan dari limit tak hingga tersebut tidak bisa dilihat secara langsung. Namun, materi tentang limit tak hingga dapat dipelajari dalam ilmu Matematika dan telah dijadikan bahan ajar untuk tingkat SMP.

Yuk, mari simak penjelasan berikut!

Pengertian Limit

Konsep limit dalam ilmu matematika difungsikan sebagai penjelas sifat dari suatu fungsi, ketika argumen mendekati ke satu titik tertentu, atau tak hingga; atau dapat dikatakan suatu sifat dari suatu barisan ketika indekes mendekati tak hingga.

Konsep limit ini digunakan dalam cabang ilmu matematika, yakni kalkulus dan cabang lain dari analisis matematika guna mencari turunan dan continue.

Lebih lanjut, fungsi limit merupakan salah satu konsep dasar dalam cabang ilmu kalkulus dan analisis, menjelaskan bagaimana suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Fungsi sendiri berguna untuk memetakan keluaran f(x) pada tiap masukan x. Fungsi memiliki limit L pada titik masukan p jika f(x) ‘dekat’ dengan L pada kondisi x dekat dengan p.

Teorema Limit

Limit berguna sebagai pernyataan suatu fungsi f(x) yang akan mendekati nilai tertentu apabila x mendekati nilai tertentu. Pendekatan dalam fungsi ini terbatas pada dua bilangan positif yang sangat kecil, dengan nama lai epsilon dan delta. Hubungan antara kedua bilangan positif ini terangkum dalam definisi limit di bawah ini:

Teorema Limit Utama

Apabila f(x) dan g(x) merupakan fungsi dan k adalah konstanta, maka:

1. lim_x→ɑ (f(x) + g(x)) = lim_x→ɑ f(x) + lim_x→ɑ g(x)
2. lim_x→ɑ (f(x) + g(x)) = lim_x→ɑ f(x) – lim_x→ɑ g(x)
3. lim_x→ɑ (f(x) + g(x)) = lim_x→ɑ f(x) . lim_x→ɑ g(x)
4. lim_x→ɑ ) = ; lim_x→ɑ g(x) ≠ 0
5. lim_x→ɑ k . f(x) = k . lim_x→ɑ f(x) ; k = konstanta
6. lim_x→ɑ [f(x)]ⁿ = [lim_x→ɑ f(x)]n ; dengan n bilangan bulat
7. lim_x→ɑ = ; dengan lim_x→ɑ f(x) ³ 0

Jenis-jenis Soal Limit

Fungsi yang Mendekati Suatu Nilai Tertentu (Asimtot)

Adakalanya sebuah fungsi limit f(x) dengan x→∞ menghasilkan angka yang mendekati nilai tertentu namun tidak pernah menyentuh angka tersebut. Fenomena ini dalam matematika disebut dengan asimtot (Asymptotes). Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut:

• Soal:

\(\underset{x \to ∞}{\lim}2+\frac{1}{x}\)

• Jawaban dan pembahasan:

Masukkan nilai x dengan angka tertentu hingga mendekati tak hingga

Dari tabel di atas, kita akan mendapatkan bahwa fungsi limit dalam soal diatas mendekati nilai 2 namun tidak pernah menyentuh angka tersebut. Jika digambarkan dalam kurva seperti terlihat di bawah ini:

Dari ilustrasi diatas, dapat kita katakan garis y=2 adalah asimtot horizontal dari fungsi \(\underset{x \to ∞}{\lim}2+\frac{1}{x}\)

Limit dari Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Dalam beberapa kasus, terdapat penggantian nilai x oleh a dalam bentuk soal f(x) x→a, yang membuat f(x) memiliki nilai yang tidak terdefinisi, atau dengan bentuk lain idmana f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞, atau ∞-∞

Apabila hal ini terjadi, maka solusi permasalahannya adalah dengan menyederhanakan bentuk f(x) agar nilai limit dapat ditentukan.

1. Limit Bentuk 0/0

Bentuk limit 0/0 kemungkinan akan muncul dalam kasus seperti di bawah ini:

\( \lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)} \)

Apabila pembaca menemukan bentuk seperti contoh di atas, maka kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut dengan pemfaktoran atau dengan asosiasi. Perlu diingat bahwa terdapat aturan a²-b² = (a+b) (a-b) dalam sistem penyelesaiannya.

• Contoh Soal dan Pembahasan:

2. Limit Bentuk ∞/∞

Bentuk dari limit ∞/∞ seringkali ditemukan pada fungsi dengan suku banyak atau polinom, contohnya:

\(  \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ax^{m}+bx^{m-1}+…+c}{px^{m}+qx^{m-1}+…+r} \)

Di bawah ini kami sertakan contoh soal untuk bentuk ∞/∞, antara lain:

\( \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{4x^{3}+2x+1}{5x^{3}+8x^{2}+6} \)

Contoh Soal:

Tentukan hasil dari soal berikut!

\(  \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{4x^{3}+2x+1}{5x^{3}+8x^{2}+6} \)

Jawaban dan pembahasan:

Terdapat rumus tercepat untuk menyelesaikan persoalan matematika limit dalam bentuk ∞/∞, yaitu:

\(  \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{ax^{m}+bx^{m-1}+…+c}{px^{n}+qx^{n-1}+…+r} = L \)

Dengan pengertian sebagai berikut:

• Apabila m < n, maka L = 0
• Apabila m = n, maka : = a/p
• Apabila m > n, maka L = ∞

3. Limit Bentuk (∞-∞)

Bentuk limit dari (∞-∞) paling sering muncul pada soal-soal ujian nasional. Bentuk soal dari bentuk limit yang satu ini sangat beragam, namun, penyelesaian soalnya tidak pernah jauh dari penyederhanaan.

Di bawah ini adalah satu contoh soal yang diambil dari Ujian Nasional tahun 2013:

• Contoh Soal

Tentukan hasil dari soal limit berikut!

\(  \lim_{x \rightarrow 1 } \frac{1}{x-1} – \frac{2}{x^{2}1}  \)

• Jawaban dan pembahasan:

Apabila pembaca memasukkan x→1, maka bentuk soal akan menjadi (∞-∞), untuk menghilangkan bentuk tersebut, maka dapat disederhanakan menjadi seperti di bawah ini:

Rumus Cepat Limit Tak Hingga

Terdapat satu rumus cepat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal limit tak hingga dalam bentuk pecahan. Perlu diketahui bahwa untuk mendapatkan nilai limit tak hingga dalam bentuk pecahan, pembaca perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang serta penyebut.

Dalam penyelesaian, terdapat 3 kemungkinan yang dapat terjadi. Pertama adalah pangkat tertinggi dari pembilang memiliki nilai lebih kecil dari pangkat tertinggi dari penyebut. Kedua adalah pangkat tertinggi dari pembilang memiliki nilai sama dengan pangkat tertinggi dari penyebut. Terakhir, pangkat tertinggi dari pembilang memiliki nilai lebih tinggi dibandingkan pangkat tertinggi dari penyebut.

Rumus untuk ketiga nilai limit tak terhingga dalam bentuk pecahan di atas dapat dilihat pada persamaan ini:

• Contoh Soal:

Tentukan nilai dari limit berikut ini!

\(  \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{2x^{3}-5}{4x^{2}+x+1} \)

• Pilihan jawaban:

1. -∞
2. -5
4. 5
5. ∞

• Pembahasan:

Nilai pangkat tertinggi dari pembilang adalah 3, sedangkan nilai pangkat tertinggi dari penyebut adalah 2 (m > n). Jadi, nilai limit yang benar adalah ∞. Jawaban yang benar adalah E.

Sekian penjelasan kami tentang Limit Tak Hingga kali ini. Semoga dapat membantu para pembaca sekalian, ya!