Distribusi binomial adalah distribusi sampling dari proporsi proporsi yang mungkin kita amati dalam sampel sampel random yang ditarik dari suatu populasi yang terdiri dari Kelas.
Secara umum pengertian distribusi binomial dapat ditulis seperti di atas.
Supaya lebih mudah untuk dipahami, sebelumnya kita gambarkan fungsi dan dasar-dasar distribusi binomial.
Tujuannya agar dapat memberikan penjelasan lebih mengenai distribusi binomial sebelum mempelajari kondisi apa saja dimana kita boleh menggunakan Uji Binomial sebagai alat uji statistik.
Dalam kasus ini, kita akan membahas Uji Binomial untuk kasus satu sampel.
Uji Binomial
Uji binomial adalah salah satu uji statistik yang digunakan untuk melakukan analisis mengenai nilai peluang suatu kejadian yang diambil dari populasi yang memiliki dua kategori.
Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita menemukan kondisi populasi yang tidak selalu sama.
Ada populasi populasi yang komponen atau elemennya berbentuk seperti kelas-kelas atau kategori-kategori.
Terkadang kita diharapkan melakukan penelitian mengenai peluang suatu kejadian yang terjadi pada populasi yang memiliki kondisi demikian.
Contohnya:
- Suatu populasi murid dalam satu kelas dilihat dari jenis kelaminnya.
- Penduduk buta huruf dan melek huruf.
- Kelompok mahasiswa yang tergolong ke dalam anggota organisasi dan bukan anggota.
- Penduduk yang digolongkan ke dalam penduduk yang telah menikah dan belum menikah.
- Dll.
Tentu, karakter tersebut disesuaikan dengan kebutuhan penelitian atau observasi kita.
Lalu bagaimana atau tahap melakukan pengujian dengan Uji Binomial?
Pengamatan pertama yang perlu Anda lakukan adalah identifikasi proporsi salah satu kategori dalam populasi tersebut.
Jika memang memenuhi syarat atau karakter seperti populasi diatas, maka artinya anda boleh melakukan pengujian binomial terhadap populasi tersebut.
Salah satu kategori diberi lambang P, dan kategori lainnya diberi lambang Q.
Kenapa harus P dan Q?
Sebenarnya Terserah anda mau melambangkan dengan apa.
Tapi umumnya dilambangkan dengan P dan Q karena menunjukkan proporsi.
Bagaimana mengetahui proporsi keseluruhan dari kategori dalam populasi?
Jika sudah diketahui populasi yang kita amati memiliki ciri yaitu terdapat dua kategori.
Sehingga jika sudah diketahui proporsi salah satu kategorinya (P) maka kategori lainnya dapat diketahui dengan rumus 1 -P (Q). \(\)
Mengapa 1-P?
Ingat! Bicara Proporsi sama dengan bicara Peluang.
Nilai 1 menunjukkan nilai proporsi keseluruhan populasi. Sehingga apabila salah satu kategori telah diketahui maka kategori sisanya bernilai 1-P.
1 -P juga dapat dituliskan dengan lambang Q.
Sehingga apabila diilustrasikan kedalam cntoh dapat dituliskan seperti berikut:
Populasi = Kategori A+ Kategori B
Proporsi Populasi = 1
Proporsi Kategori A = P
Maka:
1=P+ Proporsi Kategori B
Proporsi Kelas B = 1-P atau dapat diganti dengan Q
Yang perlu kita catat bahwa nilai P untuk setiap populasi akan bervariasi sehingga otomatis akan berpengaruh terhadap besar kecilnya nilai Q.
Penarikan Sampel Acak dari Populasi
Apakah sampel acak yang ditarik dari suatu populasi dapat menggambarkan persis proporsi dari populasinya?
Jawabannya adalah “belum tentu”.
Misalkan kita ketahui bahwa proporsi pemilih dari pasangan calon gubernur DKI Jakarta antara pasangan calon nomor urut 2 dan 3 adalah sama (50/50).
Namun pada saat kita melakukan penarikan sampel secara acak mungkin diperoleh hasil yang sedikit berbeda.
Mungkin hasil yang diperoleh menunjukkan 49% memilih pasangan calon nomor 2 dan 51% memilih pasangan calon nomor 3.
Mengapa demikian?
Alasannya adalah sifat dari random sampling tersebut yang selalu mengandung error.
Jika anda memahami perbedaan antara sampling dan sensus, maka kasusnya selesai.
Baca juga:
Itu alasan mengapa dianjurkan menggunakan sensus apabila memang memungkinkan.
Karena dengan SENSUS kita tidak perlu melakukan estimasi mengenai karakter yang ingin kita ketahui.
Pada contoh, diatas perbedaan yang terjadi antara observasi dengan populasi sebenarnya adalah hal wajar.
Jadi Begini, jika memang sudah diketahui proporsinya secara tepat, untuk apa dilakukan sampling?
Yang umum dan mungkin terjadi adalah kita tidak mengetahui proporsi pemilih sebenarnya.
Dan biasanya pasangan calon atau kelompok berkepentingan tidak memiliki dana,waktu, dan tenaga yang cukup untuk melakukan sensus. Untuk itulah dilakukan pendekatan dengan cara estimasi dari sampel.
Jika diperoleh hasil Seperti di atas (49%|51%) artinya kita melakukan pendugaan hampir mendekati kenyataan nya.
Kesalahan atau error yang terjadi pada contoh diatas disebabkan karena adanya variasi yang mungkin terjadi dalam sampel yang ditarik dari populasi.
Nah, Semoga anda sudah memahami bahwa dasar penggunaan uji binomial adalah untuk proporsi populasi yang terdiri dari hanya 2 kategori.
Bagaimana masih bingung?
Intinya, kamu cukup tahu untuk apa uji binomial digunakan.
Untuk apa dan apa yang ditanyakan umumnya dalam Uji Binomial?
Umumnya yang ditanyakan berupa peluang suatu kejadian dari beberapakali treatment.
Contohnya
- Perapa peluang munculnya 2 kali sisi “enam” pada dadu dalam 5 kali lemparan? (hanya sisi enam lainnya bukan sisi enam)
- Berapa peluang terdapat 3 pemilih calon Gubernur nomor urut 3 dari 10 responden? ( hanya terdapat dua pilihan calon nomor 2 dan selain calon nomor 2)
Karena kita akan menghitung nilai peluang x dari N kejadian maka kita tuliskan p (x)’
Rumus uji binomial (binomial test)
$$p\left( x\right) =\left( \begin{matrix} N\\ x\end{matrix} \right) P^{x}Q^{N-x}$$
Dimana ;
$$\left( \begin{matrix} N\\ x\end{matrix} \right) =\frac {N!} {x!\left( N-x\right) !}$$
Catatan: Ramus diatas berlaku untuk Sampel Kecil dengan maksimal 25
Misalkan kita menggunakan contoh sebelumnya yaitu proporsi pemilih tiga pasangan calon gubernur DKI Jakarta.
Anda sebagai peneliti ingin melakukan riset berapakah proporsi masyarakat yang mendukung ketiga pasangan calon gubernur DKI Jakarta.
Dalam kondisi ini anda sama sekali tidak mengetahui proporsi dari ketiga kategori yang anda butuhkan.
Karena keterbatasan tenaga, biaya, dan waktu, maka Anda menarik sampel untuk dijadikan sebuah bahan reset.
Dalam pemilihan sampel dan seperti itu diasumsikan bahwa kita tidak tahu orang yang akan kita ambil merupakan kelompok P atau Q.
Sehingga perlu diasumsikan bahwa kedua kategori tersebut bersebar merata dalam populasi.
Berikutnya adalah kita akan melakukan uji menggunakan statistik uji binomial untuk melihat dari sekian orang yang diambil sebagai sampel berapakah peluang tertentu orang tersebut merupakan pendukung pasangan calon salah satu dari ketiganya.
Pembuktian Uji binomial dengan contoh kasus
Misalkan dipilih 10 orang untuk menjadi sampel dalam satu desa.
Dan anda ingin melihat berapakah peluang dari ke 10 orang tersebut terdapat pendukung pasangan calon nomor 3.
Penjelasan:
- Kategori untuk pendukung pasangan calon nomor 3 diberi lambang P.
- Kategori untuk pendukung pasangan calon selain nomor 3 diberi lambang Q
- Sampel yang diambil 10 diberi lambang N
- x adalah pendukung pasangan nomor 3 dari 10 orang sampel
- N-x adalah pendukung pasangan selain nomor 3 dari 10 orang sampel
- P(x) peluang pendukung nomor 3 dari 10 orang sampel
Misalkan, dari 10 sampel yang terpilih berapakah peluang terdapat 3 pendukung dari nomor 3?
$$p\left( x\right) =\left( \begin{matrix} N\\ x\end{matrix} \right) P^{x}Q^{N-x}$$
$$p\left( 3\right)=\frac {10!} {3!7!}\left( \frac {1} {3}\right) ^{3}\left( \frac {2} {3}\right) ^{7}$$
$$=0,260$$
Kasus rentang nilai
Biasanya dalam penelitian seperti diatas orang membutuhkan kondisi berupa rentang nilai.
Misalnya, dari 10 orang yang terpilih tersebut, berapakah peluang terdapat 3-4 orang pendukung pasangan calon nomor urut 3?
Pertanyaan-pertanyaan terlihat seperti di atas lebih sering terjadi. Untuk menjawab kemungkinan tersebut uji binomial masih mampu digunakan.
Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:
$$\sum _{i=0}^{x}\left( \begin{matrix} N\\ i\end{matrix} \right) P^{i}Q^{N-i}$$
Artinya p(1), p(1), p(2)… dapat ditulis secara singkat menggunakan notasi sigma.
Misalkan dalam pada contoh di atas tidak dapat menuliskan kedalam notasi berikut:
$$p\left( 3\leq x\leq 4\right) =p\left( 3\right) +p\left( 4\right)$$
Maka:
$$p\left( 3\right)=\frac {10!} {3!7!}\left( \frac {1} {3}\right) ^{3}\left( \frac {2} {3}\right) ^{7}=0,260$$
$$p\left( 4\right)=\frac {10!} {4!6!}\left( \frac {1} {3}\right) ^{4}\left( \frac {1} {3}\right) ^{6}=0,228$$
Sehingga,
$$p\left( 3\leq x\leq 4\right) =0.260+0.228=0.488$$
Dari hasil tersebut, dapat kita simpulkan bahwa peluang terdapat 3-4 pendukung pasangan calon nomor urut 3 adalah 0,488 (p=0.488).
Penggunaan sampel kecil
Ukuran sampel menjadi penting dalam penelitian.
Dalam kasus ini ukuran sampel dikatakan kecil adalah maksimal 25.
Alasannya adalah jika Anda menggunakan, tabel D. Tabel D hanya bisa digunakan untuk sampel kecil dengan maksimal 25.
Sebenarnya sampel kecil dan sampel besar itu sangat relatif, tidak ada ukuran yang pasti mengenai besar kecilnya suatu sampel.
Pada dasarnya distribusi sampling memiliki sifat yang umum yaitu semakin besar sampel maka distribusinya akan mendekati normal.
Untuk sampel kecil rumus yang digunakan tetap menggunakan
$$p\left( x\right) =\left( \begin{matrix} N\\ x\end{matrix} \right) P^{x}Q^{N-x}$$
Sampel besar
Seperti yang saya jelaskan diatas bahwa tabel D yang dapat digunakan untuk membantu penyelesaian hanya mampu digunakan untuk sampel kecil maksimal 25.
Jika N lebih besar daripada 25, dan P mendekati (1/2) maka tabel D tidak dapat digunakan.
Distribusi binomial dengan sampel besar akan mendekati distribusi normal sehingga formulasinya dapat dituliskan sebagai berikut:
$$z=\frac {x-\mu _{z}} {\sigma _{x}}=\frac {x-NP} {\sqrt {NPQ}}$$
Dimana, $$\mu _{x}=NP$$
Demikian penjelasan mengenai Uji Binomial, mohon masukan yang membangun dan jika ada pertanyaan silahkan di tanyakan dikolom komentar.
$$\displaystyle{\tau = \frac{-2}{\frac{1}{2} \text{4} (\text{4}-1)}=0,33}$$
Terimakasih