Pengertian dan Pendahuluan
Secara umum, Sistem persamaan linear dengan n variabel ( x1, x2 ,…, xn ) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b
dengan a1, a2 ,…, an dan b merupakan konstanta riil. Variabel-variabel dalam persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui.
Perlu diperhatikan bahwa persamaan linear tidak mengandung hasil kali atau akar dari
variabel. Seluruh variabel yang ada hanya dalam bentuk pangkat pertama dan bukan merupakan argumen dari fungsi-fungsi trigonometri, logaritma, ataupun eksponensial.
Solusi dari persamaan linear a1x1 + a2x2 + … + anxn = b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2 ,…, sn sedemikian sehingga persamaan tersebut akan terpenuhi jika menyubstitusikan x1 = s1, x2 = s2 ,…, xn = sn . Kumpulan semua solusi dari persamaan itu disebut himpunan penyelesaian (himpunan solusi).
Sistem persamaan linear merupakan sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel x1, x2 ,…, xn . Sebarang sistem m persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai berikut:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
dengan x1, x2 ,…, xn adalah faktor yang belum diketahui serta a dan b dengan subskrip merupakan konstanta.
Suatu sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten, sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam sistem disebut konsisten. Suatu sistem persamaan linear yang konsisten dapat memiliki tepat satu solusi atau memiliki takterhingga banyaknya solusi.
Interpretasi mengenai solusi dari suatu sistem persamaan linear dapat dilihat pada gambar-gambar berikut ini.
Sistem Persamaan Linear Homogen
merupakan sistem persamaan linear dengan semua bentuk konstantanya adalah 0, yaitu sistem ini memiliki bentuk:
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0
Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua sistem semacam ini memiliki solusi x1 = 0, x2 =0, …, xn =0. Solusi ini disebut solusi trivial, Jika terdapat solusi lain, maka solusi – solusi tersebut disebut solusi non trivial.
Karena sistem persaman linear homogen selalu memiliki solusi trivial, maka hanya terdapat dua kemungkinan untuk solusi-solusinya:
- sistem tersebut hanya memiliki solusi trivial,
- sistem tersebut memiliki takterhingga banyaknya solusi selain solusi trivialnya.
Ada satu kasus di mana sistem homogen bisa dipastikan memiliki solusi non trivial, yaitu jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak variabel dibandingkan dengan bnaykanya persamaan linear yang ada. Sebagai contoh, jika terdapat 3 persamaan dengan 4 variabel, maka sistem tersebut memiliki solusi non trivial.
Selanjutnya:
- Pengantar Matriks
